Mathematik

Die Mathematik ist einfach die erste Stufe übersinnlicher Anschauung. Dasjenige, was wir als mathematische Strukturen des Raumes schauen, ist übersinnliche Anschauung; wir geben es nur nicht zu, weil wir gewöhnt sind, es hinzunehmen. [1] Derjenige, der begreifen will den hellsichtigen Prozeß, muß ihn da aufsuchen, wo er am primitivsten vorhanden ist: im Gestalten des Mathematischen. Kann er ihn dann hinauftragen in höhere Gebiete, dann bildet er etwas aus, was sich zum Elementaren, Primitiven des Mathematisierens so verhält, wie die späteren mathematischen Gebiete sich zu den Axiomen verhalten. Die ersten Axiome des Hellsehens sind lebendig. Und gelingt es uns, das Mathematisieren durch Übungen auszubilden, so werden wir nicht nur räumliche Verhältnisse in der Umwelt sehen, sondern wir lernen Geistwesen, bis zur geistigen Innerlichkeit vor uns sich offenbarende Geistwesen kennen, wie wir die innere Würfelnatur des Steinsalzes kennen. [2]

Das kombinatorische Denken, die mathematische Logik, wurde durch Abraham eingeleitet; ihn sah man bis ins Mittelalter hinein in gewissem Sinne als Vertreter der Arithmetik an. Die ganze Anlage seines Denken war eben eine solche, die Welt nach dem Verhältnis von Maß und Zahl anzusehen. [3]

Was die Weisen aus dem Morgenlande durch die Entwickelung des noch hellsehenden Verstandes als ihre Astrologie, als ihre Art von Astronomie gekannt haben, was ist es heute geworden? Es ist heute zur grauen Mathematik und Geometrie geworden. Wir schauen heute die abstrakten Gebilde an, die wir in der Geometrie und in der Mathematik in der Schule erhalten: das ist der letzte Rest dessen, was in lebendigem Glanze im Weltenlichte beherrscht wurde von jener alten Weisheit, welche die drei Magier aus dem Morgenlande zu dem Christus hinführte. Das äußere Schauen ist inneres Raumes- und Zeitendenken geworden. [4]

Die geometrischen, die arithmetischen Vorstellungen, die steigen auf aus dem unbewußten Teile von uns, aus dem Willensteile, der sein äußeres Organ im Stoffwechsel hat. Aus demselben Gebiete im Menschen, das als Willensgebiet gleichwertig ist dem Wirkensgebiet der Kathodenstrahlen, Kanalstrahlen, Röntgenstrahlen, der α-, β-, γ-Strahlen und so weiter, aus diesem selben Gebiet, das beim Menschen das Willensgebiet ist, hebt sich heraus dasjenige, was wir in unserer Mathematik, in unserer Geometrie, in unseren Bewegungs-Vorstellungen haben. Nun ist aber das heutige menschliche Denken auf diesen Gebieten nicht so weit, bis hinein in diese Gebiete noch wirklich zu denken. [5]

Der Weltenraum hat ja die Eigentümlichkeit, daß er alles, was im Planetarischen fest wird, was sich im Planetarischen zusammenballt, zersplittert, in kleinste Splitter zerhaut. Das tun wir im gewöhnlichen Leben selten, wir machen es selten mit. Und am meisten machen das mit, was sonst nur der Weltenraum tut, die mathematischen Naturen, die Naturen, die sich gewöhnen, viel in Figuren zu leben, die sich gewöhnen, viel in mathematischen Formen zu denken. Denn dieses Denken beruht auf dem Zerschlagen des Mineralischen. [6]

Wir tragen in uns die drei inneren Sinne: Lebenssinn, Bewegungssinn, Gleichgewichtssinn. Sie sind im ganz besonderen Maße in dem kindlichen Alter tätig bis zum Zahnwechsel hin. Es verglimmt ihre Tätigkeit gegen den Zahnwechsel hin. Im Gleichgewichtssinn und im Bewegungssinn spielt sich nichts anderes ab, als ein lebendiges Mathematisieren. Und damit es lebendig ist, deswegen ist eben der Lebenssinn dabei, der es durchlebendigt. So sehen wir innerlich gewissermaßen latent eine ganze Mathematik an dem Menschen tätig sein, die dann nicht etwa ganz abstirbt mit dem Zahnwechsel, aber die wesentlich weniger deutlich wird für das spätere Leben. Die latente Mathematik wird eine freie, wie die latente Wärme eine freie Wärme werden kann. [7]

Man muß einmal nachempfunden haben, was einen von dem abstrakten Erfassen der geometrischen Formen treiben kann zu dem bewundernden Empfinden der inneren Harmonie, die in diesem Mathematisieren liegt. Da mischt sich in das mathematische Erleben etwas Neues hinein. Da mischt sich in das mathematische Erleben, das sonst rein intellektualistisch ist, bildlich gesprochen bloß unseren Kopf interessiert, da mischt sich etwas hinein, was nun den ganzen Menschen in Anspruch nimmt und was im Grunde genommen bei solch jugendlich gebliebenen Geistern wie Novalis nichts anderes ist als ein Fühlen der Tatsache: Was du da als mathematische Harmonien erschaust, womit du die Phänomene des Weltenalls durchwebst, das ist ja im Grunde genommen nichts anderes, als was dich gewoben hat während der ersten Zeit deiner kindlichen Entwickelung hier auf der Erde. Das heißt konkret fühlen den Zusammenhang des Menschen mit dem Kosmos. Wenn der Geistesforscher sich durch eine solche innere Empfindung erhebt zu einer weiteren inneren Erfassung dieses Mathematisierens, dann geht die Seelenfähigkeit, die sich in diesem Mathematisieren äußert, in eine viel umfassendere über. Dann wird sie etwas, was so exakt bleibt wie das mathematische Denken, was aber nun nicht mehr aus der Intellektualität oder aus dem intellektuellen Anschauen allein heraus kommt, sondern was aus dem ganzen Menschen heraus kommt. Man lernt an der Mathematik erkennen, was Inspiration ist. Wir lernen auffassen, daß die Art, wie wir uns der Mathematik bemächtigen, auf einer Inspiration beruht, und wir können dann in geistesforscherischer Entwickelung diese Inspiration selbst erleben. Wir bekommen Inhalt auf eine andere Weise als durch äußere Erfahrung in unsere Vorstellungen, in unsere Begriffe hinein. Wir können uns inspirieren mit demjenigen aus der geistigen Welt, das in uns arbeitet während unserer kindlichen Jahre, das ist Geist. [8] Die Gebiete aus denen das Mathematische kommt ist der Gleichgewichtssinn, ist der Bewegungssinn. Aus solchen Tiefen herauf kommt das mathematische Denken, bis zu denen wir nicht mehr hinreichen, hinuntergehen mit unserem gewöhnlichen Seelenleben. Unter unserem gewöhnlichen Seelenleben lebt dasjenige, was uns heraufbefördert, was wir in mathematischen Gebilden entfalten. Und so sehen wir, daß das Mathematische eigentlich wurzelt in dem, was in uns zugleich kosmisch ist. Wir sind ja wirklich subjektiv nur mit dem, was vom Sehsinn nach aufwärts liegt; mit dem, was da hinunter liegt, wurzeln wir in der Welt. Wir können daher niemals sagen, daß zum Beispiel die Raumlehre irgend etwas Subjektives haben könnte, denn sie entspringt aus dem in uns, worinnen wir selber objektiv sind. Es ist genau derselbe Raum, den wir durchmessen, wenn wir gehen und den uns unsere Bewegungen vermitteln, genau derselbe Raum, den wir dann, wenn wir ihn im Bilde aus uns herausgebracht haben, auf das Angeschaute verwenden. [9]

Am meisten kosmisch ist in uns die mathematische Region, sie gehört uns nicht einmal bloß als ruhendem Menschen an, sondern als herumgehendem Menschen. Wir bewegen uns ja immer irgendwie in mathematischen Figuren. Wenn wir das äußerlich ansehen an einem herumgehenden Menschen, so sehen wir etwas Räumliches; wenn wir es innerlich erleben, erleben wir die uns innerliche Mathematik, die eine kosmische ist, nur daß das Kosmische uns auch aufbaut. Die Raumesrichtungen, die wir draußen haben, die bauen uns auch auf und in uns erleben wir sie. Und indem wir sie erleben, abstrahieren wir sie, nehmen die Bilder, die sich im Gehirn spiegeln und verweben sie mit dem, was sich äußerlich räumlich in der Welt uns zeigt. Es ist schon notwendig, daß heute aufmerksam darauf gemacht wird, daß eigentlich dasjenige, was der Mensch mathematisierend in die Welt hineinlegt, dasselbe ist, was ihn aufbaut, was also kosmischer Natur ist. Denn durch den unsinnigen Kantianismus ist der Raum bloß zu einer subjektiven Form gemacht worden. Er ist nicht eine subjektive Form, er ist etwas, was wir gerade in derselben Region real erleben, wo wir das Willensmäßige erleben. Und da scheint es herauf. Da wird das Heraufscheinen zur Welt etwas, mit dem wir dann durchdringen dasjenige, was sich äußerlich darbietet. [10]

Lernt man aber innerlich schauen, dann weiß man, woher man dieses merkwürdige Mathematische hat: es ist der astralische Leib durchgegangen durch die Mathematik des ganzen Weltenalls, es hat sich das wieder zusammengezogen. Wir lassen einfach auftauchen aus unserer Seele dasjenige, was wir in einer früheren Inkarnation erlebt haben, was dann durchgegangen ist durch den ganzen Kosmos und was dann in der Feinheit der mathematisch-geometrischen Linien wiederum auftaucht. Man müßte also sagen: Dasjenige, was im Kantschen Sinne a priori genannt ist, das ist herrührend aus unseren früheren Inkarnationen und taucht in dieser Inkarnation in einer verwandelten Gestalt, allerdings durchgegangen durch den Makrokosmos, wiederum auf. [11] Man muß einmal empfinden, was für ein gewaltiger Unterschied besteht zwischen der an das menschliche Erleben gebundenen mathematischen Empfindung und dem kahlen, öden mathematischen Raumschema der analytischen Geometrie, die irgendwohin in einem abstrakten Raum einen Punkt stellt, drei aufeinander senkrechte Koordinatenachsen zieht und das erdachte Raumschema von allem Erleben abgesondert hat. Aber dieses erdachte Raumschema hat sich der Mensch erst aus seinem eigenen Innenleben herausgerissen. So daß man tatsächlich die Entstehung der späteren mathematischen Anschauungsweise, die dann die Naturwissenschaft ergriffen hat, wenn man sie richtig verstehen will in ihrem selbstgenügsamen Hinstellen ihrer Gebilde, daß man sie ableiten muß aus der erlebten Mathematik einer früheren Zeit (siehe: Dimensionen). Die Mathematik einer früheren Zeit war eben etwas ganz anderes. Und dasjenige, was einmal vorhanden war in einem, ich möchte sagen, traumhaften Erleben der inneren Dreidimensionalität und was sich dann verabstrahiert hat, das ist heute völlig im Unbewußten vorhanden. – In der Tat ist es auch heute beim Menschen noch so, daß er sich die Mathematik aus seiner eigenen inneren Dreidimensionalität herausholt, aber auf völlig unbewußte Weise. Ins Bewußtsein kommt herauf zum Beispiel das fertige Raumschema, wie überhaupt alle fertigen, von ihrer Wurzel abgelösten mathematischen Gebilde. Ich habe das Beispiel des Raumschemas gewählt. Ich könnte ebensogut irgendeine andere mathematische Kategorie anführen, auch noch mathematische Kategorien aus der Algebra, aus der Analysis, aus der Arithmetik. Sie sind nichts anderes, als aus unmittelbarem menschlichem Erleben ins Abstrakte heraufgeholte Schemata. Vor dem 15. Jahrhundert hatten die Menschen wenigstens noch einen Nachklang von Empfindung bei den Zahlen. Sie hätten ja auch nicht in der Zeit, in der die Zahlen schon jenes Abstrakte geworden waren, das sie heute sind, sie hätten ja auch nicht Namen für die Zahlen finden können. Die Namen für die Zahlen sind oftmals so außerordentlich charakteristisch. Denken Sie doch nur an das Wort «Zwei», das deutlich noch einen konkreten Vorgang ausdrückt: entzweien, ja das sogar zusammenhängt mit zweifeln. Aber es ist nicht die Nachbildung eines Äußeren, wenn die Zahl Zwei bezeichnet wird durch das Entzweien, sondern es ist tatsächlich ein im Inneren Erlebtes, das zum Schema gemacht wird, ein aus dem Inneren Heraufgeholtes, geradeso wie das Abstrakte dreidimensionale Raumschema aus dem Inneren herausgeholt ist. [12] Man möchte sagen, die eigentliche Mystik ist eben seelische Mystik, und die Mathematik, Mathesis, ist körperliche Mystik. Man erlebt innerlich die eigentliche Mystik eben in dem, was man sehr häufig Mystik nennt, und man erlebt die Mathesis, die andere Mystik, indem man ein Innenerlebnis des Körperlichen hat, indem man dieses Innenerlebnis noch nicht verloren hat. [13] Die ganze Mathematik, die Geometrie, ist heraufgeholt aus unserem Bewegungssystem. Wir hätten keine Geometrie, wenn wir nicht nach innerlicher Orientierung uns in die Welt hineinstellten. In Wahrheit geometrisieren wir, indem wir dasjenige, was sich im Unbewußten abspielt, in das Illusionäre des Gedankenschemas heraufheben. Dadurch erscheint es uns als etwas so abstrakt Selbständiges. [14]

Das ist das Überraschende, wenn man darauf kommt, daß eine ältere Mathematik ganz anders redet vom Dreieck und Viereck. Wenn darinnen gesehen wird allerlei Geheimnisvolles, so ist das nicht ein Geheimnisvolles, wie es die heutigen nebulosen Mystiker beschreiben, sondern es ist dasjenige, was einer etwa beim Dreieck erlebt hätte innerlich im Blute, wenn er das Dreieck abgelaufen wäre, was einer innerlich erlebt hätte im Blute, wenn er das Viereck abgelaufen hätte. Und gar jenes Blutserlebnis, das für das Pentagramm gilt! Sie sehen, im Blute wird die ganze Geometrie qualitativ inneres Erlebnis. [15]

Ich denke die vier Grundgesetze der Zahlenlehre

a + b = b + a

a x b = b x a

(a + b) + c = a + (b + c)

a (b + c) = ab + bc

0 x n = 0

nur dann richtig, wenn ich sie ansehe als etwas, was mir Richtung gibt; als etwas, was mich befähigt, in regulativer Weise einzudringen in die Wirklichkeit. Aber ich befinde mich auf falschem Wege, wenn ich die Mathematik als konstitutiv für die Wirklichkeit annehme; denn da wird mir die Wirklichkeit durchaus widersprechen in gewissen Gebieten. (Beispielsweise) ein solcher Widerspruch ist der, wo die Inkommensurabilität bei der Betrachtung der Himmelserscheinungen eintritt. [16] (Weiteres dazu siehe: Astronomie).

Mit den mathematischen Wahrheiten ist es anders als mit den Wahrheiten, die man aus den äußeren Beobachtungen kennt. Diese Tatsache weiß man, aber man ist nicht in der Lage, mit den Mitteln des heutigen Forschens den Grund einzusehen. Der Grund liegt darinnen, daß die mathematischen Wahrheiten tief aus dem Inneren des Menschen herauskommen, daß die mathematische Wahrheit im dritten Bewußtsein, im Inspirationsbewußtseins, in der unteren Schichte des Bewußtseins entspringt, und ohne daß der Mensch etwas davon ahnt, in sein oberstes Bewußtsein heraufschießt, wo er sie dann innerlich sieht. [17]

Im mathematischen Erkennen leben wir in allem, was uns Objekt ist, unmittelbar darinnen. Wir formen innerlich die mathematischen Objekte und ihre Zusammenhänge, und wenn wir die mathematischen Gebilde irgendwie zeichnen, so ist das nur zu unserer Bequemlichkeit da. Dasjenige, was wir meinen, ist ja niemals dasjenige, was irgendwie derjenigen Außenwelt angehört, die wir mit unseren Sinnen wahrnehmen, sondern dasjenige, was wir meinen im mathematischen Erkennen, ist durchaus ein innerliches Konstruiertes, etwas, was nur lebt in derjenigen Betätigung unseres Seelenlebens, die etwas gibt von alldem, was den Sinnen als solchen unzugänglich ist. Wir konstruieren innerlich, indem wir uns das Feld der mathematischen Wissenschaft aufbauen. Das ist ein ganz radikaler Unterschied gegenüber dem Erkennen der empirischen Außenwelt der Sinne gegenüber. Da bleibt das, was Objekt ist, streng außer uns. [18] Dasjenige, was diesen rein mathematischen Vorstellungen zugrunde liegt, das führt nämlich zuletzt nicht zurück auf Gesehenes oder Gehörtes, sondern das führt, wenn man es letztlich verfolgt, eigentlich zurück auf Willensimpulse in uns. [19] Was lebt eigentlich in uns, indem wir so etwas anstreben, (die Welt auch mathematisch zu durchdringen), indem wir nicht dabei stehenbleiben, gewohnheitsmäßig mit allgemeinen Regeln die äußeren empirischen Tatsachen zu verknüpfen, sondern diese empirischen Tatsachen zu durchdringen mit dem, was wir erst innerlich konstruieren, was wir selber mit vollem Dabeisein beim mathematischen Objekt mit unserem ganzen Seelenleben formuliert haben? Nun, nichts anderes liegt da zugrunde offenbar, als daß wir uns dadurch den äußeren uns zunächst fremden Naturvorgang innerlich ganz aneignen, daß wir gewissermaßen streben mit ihm eins zu werden. Dieses Verinnerlichen des Äußeren, das ist dasjenige, was antreibt die mathematische Naturerklärung. Wir können uns fragen: Was haben wir damit erreicht? Wir können uns deutlich vergegenwärtigen: Was hat eigentlich unsere Seele für einen Inhalt, indern sie, statt das Äußerliche anzuschauen, sagen wir, statt die Polarisationserscheinungen anzuschauen, eine Summe von mathematischen Formulierungen in sich selber präsent macht? Was hat unsere Seele davon? Wir schauen dieses Gebilde an, diese gewissermaßen ganz in mathematische Formulierungen gebrachte Außenwelt, dann finden wir, daß wir zwar alles dasjenige berücksichtigt haben, was uns an materiellen Voraussetzungen die Außenwelt gegeben hat, um unsere mathematischen Formulierungen an sie anzuknüpfen, wir finden gewissermaßen, daß wir erst etwas hatten, was uns innerlich dunkel erschien, und was uns jetzt hell, nämlich mathematisch begrifflich durchhellt erscheint. Aber wir können uns dann nicht mehr die Tatsache verleugnen, daß wir zu gleicher Zeit nun der Natur, der Außenwelt ein Bild entgegenhalten, das nichts mehr von der Wirklichkeit enthält, die sich uns erst dargeboten hat. [20] Man muß sich bewußt sein: man verbindet dasjenige, was einem die Außenwelt gibt, mit etwas rein innerlich Konstruiertem. Man muß durchschauen, daß das Mathematische ein innerliches Menschheitserzeugnis ist, und daß man dennoch, trotzdem man es in diesem Mathematischen mit einem innerlichen Menschheitserzeugnis zu tun hat, dennoch ein Gefühl – wir werden später sehen, daß es eine Erkenntnis ist – davon hat, daß mit diesem innerlich mathematisch Konstruierten, das ganz abseits von der Außenwelt konstruiert wird, etwas gegeben ist, was uns näher an die Außenwelt heranbringt, als wir ihr sonst sind. Wir tun dies aber zu gleicher Zeit auf Kosten davon, daß wir die volle Wirklichkeit der Außenwelt dann nicht mehr haben. [21] (Weiteres siehe: Mathematik und Geisteswissenschaft).

Zitate:

Quellen: