Geometrie

In der Urzeit schrieb man hellsichtig vor sich hin. Noch der alte Grieche konnte dasjenige, was Geometrie war, hellsichtig vor sich hinzeichnen. [1] Unser ganzes Raumvorstellen, unser ganzes mathematisches Vorstellen ist die Heraufprojektion unserer Bewegungen in den Gliedern, unserer Bewegungs-möglichkeiten in den Intellekt, (so)daß da der Kopf dasjenige erlebt, was wir als Bewegungen erleben in unserer Menschlichkeit. Gerade im Bewegungs-mechanismus lebt ein tiefes Seelisches des Menschen. [2] Was ein Würfel, was ein Oktaeder ist, wie ihre Winkel sind, das machen wir aus, ohne daß wir unsere Beobachtung über die Natur ausdehnen, das ist etwas, was wir aus uns herausspinnen. Daß wir die Dinge zeichnen, ist nur etwas, was unserer Trägheit dient. Wir könnten ebensogut alles dasjenige, was wir durch Zeichnung veranschaulichen, uns bloß vorstellen, und es ist sogar nützlich, wenn wir uns manches bloß vorstellen und weniger die Leiter der Veranschaulichung benützen. Daraus ergibt sich, daß dasjenige, was wir auszusagen haben über die geometrische Form, aus einem Gebiet genommen ist, das zunächst fern der äußeren Natur steht. Was wir auszusagen haben über einen Würfel, das wissen wir, ohne daß wir es ablesen vom Steinsalzwürfel. Aber es muß sich an diesem auch finden. Wir machen also etwas fern der Natur und wenden es dann auf die Natur an. [3]

Wir befinden uns ja in einer ganz speziellen Seelenverfassung, wenn wir Mathematik betreiben. Wir sprechen im Leben von dem dreidimensionalen Raum, und wir machen uns die Vorstellung, daß dieser dreidimensionale Raum so konstituiert ist, daß seine drei Dimensionen, wie man sagt, aufeinander senkrecht stehen. Dasjenige, was wir da im Seelenauge haben als Raum, das ist etwas, was uns zunächst ganz unabhängig vom Menschen und von der übrigen Welt vor dem geistigen Auge steht. Daß es zunächst vor den Augen des Menschen unabhängig von diesem Menschen selbst steht, das geht uns daraus hervor, daß der Mensch sich nach den Bestimmungen des Raumes als Wesen, als Individuum selber bestimmt. Er kann durchaus sagen, er sei so und so weit entfernt von irgendeinem Punkt, den er in Aussicht nimmt. Den Raum betrachtet der Mensch zunächst als etwas Objektives, als etwas, was mit seinem Eigenwesen nichts zu tun hat. Das hat ja gerade dazu geführt, daß Kant davon gesprochen hat, der Raum sei eine Anschauung a priori, eine Anschauung, die gewissermaßen dem Menschen von vornherein gegeben ist. (Denn) er hat keine Möglichkeit, zu fragen, wodurch er diesen Raum habe. Er hat ihn einfach hinzunehmen als etwas Fertiges, in das er sich hineinzufinden hat, wenn er zum Vollbewußtsein seines Erdendaseins gekommen ist. [4]

So ist aber die Sache in Wirklichkeit nicht. Wir bilden als Menschen in Wahrheit den Raum doch aus unserer eigenen Wesenheit heraus. Wir verfolgen diese Bildung des Raumes, oder besser gesagt, der Raumvorstellung, der Raum-anschauung nur nicht mit dem Bewußtsein, weil sie sich hineinstellt in ein Lebensalter des Menschen, in dem er noch nicht in der Weise über sich selbst und über seine eigenen Tätigkeiten nachdenkt, wie das der Fall sein müßte, wenn er sich vollständig über die Wesenheit des Raumes in bezug auf sein Eigenwesen aufklären sollte. Wir würden nämlich keine solche Raumanschauungen haben, wie wir sie haben, wenn wir nicht die drei Dimensionen des Raumes erst innerhalb unseres Erdendaseins erleben würden. Wir erleben sie. Wir erleben die eine Dimension, indem wir uns von der Ohnmacht, als menschliches Wesen nach unserer Geburt aufrecht zu gehen, in diese eine, senkrechte Dimension, hineinversetzen. Wir lernen einfach aus der Art, wie wir selber die eine Dimension bilden, das Vorhandensein dieser Dimension kennen. Und wir lernen nicht eine beliebige Dimension kennen aus unserer Menschenwesenheit heraus, die einfach auf den zwei anderen Dimensionen senkrecht steht, sondern wir lernen diese senkrechtstehende Raumesdimension dadurch kennen, daß wir als Menschenwesen nicht gleich aufrecht geboren werden, sondern daß es zu den Bildegesetzen unseres Erdenlebens gehört, daß wir uns in diese vertikale Dimension erst hineinbringen.

Eine zweite Dimension lernen wir kennen ebenso in einer unbewußten Art. Der Mensch nimmt eine Orientierung von links nach rechts vor, von rechts nach links. Man braucht nur daran zu denken, wie wir in einer gewissen Partie unseres Gehirns die Sprachorganisation haben, die sogenannten brocaschen Sprachwindungen, und wie die andere Seite unseres Gehirns eine solche Organisation nicht hat. Man weiß heute ja auch durchaus durch anerkannte Wissenschaft, wie die Ausbildung dieser Sprachorganisation im linken Teil der menschlichen Gesamtorganisation zusammenhängt mit der zunächst aktiv auftretenden Beweglichkeit der rechten Hand. Man weiß also, daß da eine Orientierung von rechts nach links sich vollzieht. Diese Orientierung von rechts nach links, dieses Tätigkeiterregen links durch Tätigkeit rechts, oder umgekehrt, das ist etwas, was wir innerhalb unserer Bildungsgesetze geradeso erleben wie das Aufrichten. Und in diesem Zusammenorientieren des symmetrischen Rechts und Links erleben wir als Mensch zunächst die zweite Raumesdimension. [5]

Die dritte Raumesdimension erleben wir eigentlich niemals ganz vollständig. Wir visieren ja abschätzend eigentlich erst die sogenannte Tiefendimension. Die vollziehen wir fortwährend, obwohl das Vollziehen auch im Grunde stark im Unterbewußten liegt. Wenn wir unsere beiden Augenachsen kreuzen an einem Punkte, den wir in beide Augen fassen, so dehnen wir den Raum, der sonst für uns nur zwei Dimensionen hatte, in die dritte hinaus. Und bei allem Beurteilen, Abschätzen der Raumestiefe bilden wir eigentlich unbewußt aus unserem eigenen Wesen, unseren eigenen Bildungsgesetzen heraus erst die dritte Dimension. So lösen wir, könnte man sagen, in einer gewissen Weise aus unserem eigenen Leben heraus die drei Raumesdimensionen. Und dasjenige, was wir dann als den Raum auffassen, den wir in der Geometrie, in der euklidischen Geometrie zunächst, verwenden, ist nichts anderes als eine Abstraktion desjenigen, was wir konkret an unserem eigenen Organismus als die wirklichen drei Dimensionen, die mit unserem subjektiven Menschenwesen zusammenhängen, allmählich erkennen lernen. Wir lassen in der Abstraktion die ganz bestimmte Konfiguration des Raumes weg. Die bestimmte Senkrechte, die bestimmte Waagerechte, die bestimmte Tiefen-dimension, die werden einander gleichgültig. Solche Vorgänge finden ja immer bei der Abstraktion statt. Und dann, wenn wir aus dem in uns erlebten dreidimensionalen Raum durch Abstraktion den äußeren Raum, von dem wir in der Geometrie sprechen, gebildet haben, dann dehnen wir eigentlich unser Bewußtsein nur über diesen äußeren Raum aus. Aber nun kommt das Bedeutsame: Dasjenige, was wir erst aus uns selbst heraus gewonnen haben, das ist jetzt anwendbar auf die äußere Natur, zunächst in ihren unorganischen, ihren leblosen Bildungen, aber auch auf die verschiedenen Lageverhältnisse und Bewegungs-verhältnisse der organischen Bildungen.82.54f

Wir gehen tatsächlich, indem wir den Raum in dieser Weise bilden, aus uns heraus. Dasjenige, was wir erst in uns selber erlebt haben, das tragen wir in die Welt außerhalb unseres Leibes heraus, und wir stellen uns dann auf einen Gesichtspunkt, von dem aus wir dann auf uns selber, mit dem Raume erfüllt, zurückblicken. Es kann uns eigentlich aus den Verhälnissen heraus niemals ein Zweifel darüber kommen, daß wir mit dem so aus uns Herausgekommenen zu gleicher Zeit in den Dingen drinnen leben können. Wenn wir den Abstand oder den wechselnden Abstand zweier Körper in der Außenwelt nach Raumesverhältnissen beurteilen, so kommt uns gar nicht in den Sinn, daß das anders sein könnte, als daß wir etwas völlig Objektives feststellen, in das die Subjektivität nicht hereinspricht.

Nun aber liegt hier im Grunde genommen ein wichtiges Problem vor, das Problem, daß etwas, was wir in uns selber subjektiv erlebt haben, indem wir es verwandeln, beim Raume einfach durch eine Art Abstraktionsvorgang verwandeln, dann ein die Außenwelt gewissermaßen Durchdringendes wird, als ein der Außenwelt Angehöriges erscheint. Wer sich unbefangen überlegt, was da eigentlich vorliegt, der muß sich sagen: Indem so etwas vollzogen wird wie das subjektive Raumeserlebnis in seinen drei Dimensionen und die nachherige Objektivierung desselben, steht eben der Mensch in der objektiven Außenwelt drinnen mit dem, was er selber erlebt. Unsere subjektiven Erlebnisse, indem sie Raumeserlebnisse sind, sind zugleich objektive Erlebnisse. [6]

Wenn der Mensch dasselbe, was er da mit Bezug auf das Mathematisieren ausführen kann, auch ausführen könnte mit Bezug auf andere Erlebnisse, dann würde er ja gewissermaßen die mathematisierende Seelenverfassung in andere Erlebnisse hereintragen können. Nehmen wir einmal an, wir kämen dazu, nicht nur während unseres unbewußten Lebensganges – denn Aufrechtstehen- und Gehen-lernen, Links und Rechts Zusammenorientieren gehören ja durchaus dem unbewußt verlaufenden Lebensgange an, und die Art und Weise, wie wir die Tiefendimension des Raumes ermessen, gehört dem halb unbewußt bleibenden Leben an – sondern bewußt die subjektiven Erlebnisse so umzugestalten, daß wir dann mit dem umgestalteten Erlebnis außer uns stehend auf uns selbst zurückschauen könnten. [7]

Wenn wir nun geradeso, wie wir die drei Raumesdimensionen zunächst aus uns heraus bilden, um sie an und in den Dingen wieder zu finden, wenn wir ebenso dasjenige, was in uns sonst als Sinnesempfindung aufritt, aus uns selbst schöpfen und dann außer uns versetzen könnten, dann würden wir das erst in uns Gefundene in den Dingen ebenso finden, ja, auf uns zurückschauend, es wiederfinden, wie wir das als Raum in uns Erlebte in der Außenwelt finden und auf uns zurückschauend, uns selbst diesem Raume angehörend finden. Wir würden, wie wir die Raumeswelt um uns haben, eine Welt von ineinanderfließenden Farben und Tönen um uns haben. Wir würden sprechen von einer objektivierten farbigen, tönenden Welt, einer flutenden, farbigen, tönenden Welt, so wie wir von dem Raume um uns herum sprechen. Wie wir unbewußt, einfach aus unserer menschlichen Natur heraus, uns die Raumesgestalt ausbilden, um sie dann in der Welt wiederzufinden, indem wir sie erst metamorphosiert haben, so kann der Mensch durch gewisse Übung – das muß er jetzt bewußt ausführen – dazu kommen aus sich heraus den gesamten Umfang der Qualitäten enthaltenden Welt zu finden, um sie dann wiederzufinden in den Dingen, wiederzufinden zurückschauend auf sich selbst. [8]

Was ich Ihnen hier schildere, das ist das Aufsteigen zu der sogenannten imaginativen Anschauung. Zu der gewöhnlichen gegenständlichen Anschauung der Dinge, in der uns die Mathematik ein sicherer Führer ist, kann die imaginative Anschauung – es ist nur ein technischer Ausdruck und bedeutet nicht «Einbildung» und «Imagination» im gewöhnlichen Sinne – hinzukommen und ein neues Weltgebiet eröffnen. Dann aber, wenn wir in dieser Weise uns der Welt gegenüberstellen können, sind wir schon drinnen im übersinnlichen Schauen, auf der ersten Stufe des übersinnlichen Schauens. Das sinnliche Schauen, das ist zu vergleichen mit demjenigen Anschauen der Dinge, wo wir nicht an den Dingen Dreiecke und Vierecke unterscheiden, wo wir nicht geometrische Strukturen in den Dingen sehen, sondern einfach hinstarren auf die Dinge und ihre Formen nur äußerlich nehmen. Dasjenige Anschauen aber, das in der Imagination auftritt, ist ein solches Verwobensein mit dem inneren Wesen der Dinge, wie das mathematische Anschauen ein Verwobensein mit denjenigen Weltverhältnissen ist, die eben durchaus der Mathematik zugänglich sind. [9]

Alle Kräfte entwickeln sich weiter. Was die Weisen aus dem Morgenlande durch die Entwickelung des noch hellsehenden Verstandes als ihre Astrologie, als ihre Art von Astronomie gekannt haben, was ist es heute geworden? Es ist heute zur grauen Mathematik und Geometrie geworden. Wir schauen heute die abstrakten Gebilde an, die wir in der Geometrie und in der Mathematik in der Schule erhalten: das ist der letzte Rest dessen, was in lebendigem Glanze im Weltenlichte beherrscht wurde von jener alten Weisheit, welche die drei Magier aus dem Morgenlande zu dem Christus hinführte. Das äußere Schauen ist inneres Raumes- und Zeitendenken geworden. [10]

Der Mensch erlebt das, was er in den geometrischen Figuren darstellt, an sich, aber nur in dem Lebensalter, das noch viel Unbewußtes, halb Träumerisches hat; dann wird es später heraufgehoben, und es nimmt sich abstrakt aus. Von dem Lebenspunkte an, wo das Kind sich aufrichtet, bis zu dem Lebenspunkte, wo es jene innere Verhärtung durchmacht, die im Zahnwechsel liegt, probiert das Kind im Unbewußten an seinem eigenen Körper die Geometrie aus, das Zeichnen. Gerade mit dem Zahnwechsel wird es seelisch. [11]

Wenn ich ein Dreieck aufzeichne, von dem ich weiß, daß es 180 Grad hat (als Winkelsumme), so weiß ich das aus dem Ätherleibe. Daß man die Figur aufzeichnet, das ist nur eine Spekulation auf die menschliche Faulheit. In Wahrheit wissen Sie alles, was Sie an Geometrie lernen können, unbewußt; das steckt da unten in den Tiefen des unbewußten Seelenlebens. [12] Was wir heute als abstrakte Geometrie haben, wo wir kongruente und ähnliche Figuren vergleichen, wo wir sagen, daß eine Ellipse entsteht, wenn die Summe der Entfernung jedes ihrer Punkte von zwei bestimmten Punkten eine konstante Größe ist, das ist für uns etwas Abstraktes. Aber in diesem eigentümlichen Verhältnis von zwei voneinander verschiedenen Größen zueinander, in dem erlebte man noch im dritten nachatlantischen Zeitraum die Ellipse, auch wenn man sie gar nicht irgendwie vorstellte. So fühlte man auch das Wesen der Zahl. [13]

Schüler des himmlischen Wissens waren die Zarathustra-Schüler der zweiten Kulturepoche. Jetzt (in der ägyptisch-chaldäischen Epoche) fingen die Menschen an, das, was sie gewonnen hatten, auf den physischen Plan anzuwenden. Sagen wir, um es uns zu vergegenwärtigen: Nun hatten die Menschen gelernt aus den Schauungen des Übersinnlichen, wie man alles Übersinnliche dadurch fassen kann, daß man es ausdrückt in einem Dreieck – das Dreieck als Bild für das Übersinnliche. Geometrie ist zuerst so gelernt worden, daß man sie als symbolische Begriffe hatte. Nun waren sie da, und man wandte sie an: die Ägypter in der Feldmeßkunde, die Chaldäer auf den Gang der Gestirne. Was früher nur für etwas Übersinnliches gegolten hatte, das wandte man nun an auf das, was man physisch sinnlich sah. [14] Euklid bedeutet die Dekadenz der ägyptischen Arithmetik und Geometrie. Im alten Ägypten der voreuklidischen Zeit empfand man Weltenkräfte, wenn man sich ein Dreieck vorstellte. Da war das Dreieck eine Wesenheit. [15]

Wir erleben in der Geometrie tatsächlich unseren durch unsere Gliedmaßen webenden Willen. Der Kopf schaut zu, wie wir in der Geometrie gehen, tanzen und so weiter, und dann bildet der Kopf die Formen, die er im Geometrischen hat. [16] Das Dreieck ist eine unbewußt ausgeführte Bewegung, die der Mensch im Kosmos vollführt. Diese Bewegungen, die Sie in der Geometrie fixieren, indem Sie geometrische Figuren zeichnen, führen Sie mit der Erde aus. Die Erde hat nicht nur die Bewegung, welche sie nach der Kopernikanischen Weltansicht hat: sie hat noch ganz andere, künstlerische Bewegungen, die werden da fortwährend ausgeführt. Und noch viel kompliziertere Bewegungen werden ausgeführt, solche Bewegungen zum Beispiel, die in den Linien liegen, welche die geometrischen Körper haben: der Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder, das Ikosaeder und so weiter. Diese Körper sind nicht erfunden, sie sind Wirklichkeit, nur unbewußte Wirklichkeit. Es liegen in diesen und in noch anderen Körperformen merkwürdige Anklänge an dieses für die Menschen unterbewußte Wissen. Das wird dadurch herbeigeführt, daß unser Knochensystem eine wesentliche Erkenntnis hat; aber Sie reichen nicht mit Ihrem Bewußtsein bis zum Knochensystem hinunter. Das Bewußtsein davon erstirbt, es wird nur reflektiert in den Bildern der Geometrie, die der Mensch da als Bilder ausführt. Der Mensch ist recht sehr eingeschaltet in den Kosmos. Indem er die Geometrie ausbildet, bildet er etwas nach, was er selbst im Kosmos tut. [17] Geometrische Grundbegriffe wecken hellseherische Fähigkeiten. In der Geometrie der Lage wird bewiesen, daß überall im Umkreis derselbe Punkt ist: der unendlich ferne Punkt rechts ist derselbe wie der Ausgangspunkt links. Das heißt: letzten Endes ist die Welt eine Kugel, man kommt (beim Gehen in eine Richtung) an den Ausgangspunkt zurück. Die geometrischen Lehrsätze gehen über in Grenzbegriffe. (Beispielsweise) erreicht der dreidimensionale Raum seinen (Null)punkt wieder (als unendlichferner Punkt). [18]

Zitate:

Quellen: